813 概率论与数理统计.pdf

南京审计大学 2019 年硕士研究生入学考试初试（笔试）试题（ 科目代码: 科目名称: 813 概率论与数理统计 A卷 ） 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、 计算题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1．假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，求 （1）求 Y  1  e 2 X 2 的概率密度函数 pY ( y ) ；（2）求 E (Y ) 。 2. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度函数如下：  e x y e y , x  0, y  0  p ( x, y )   y 0, 其他  求：（1）给定 Y =y 时，X 的条件概率密度函数 p ( x | y ) ；（2）求 P ( X  1| Y  y ) 。 3. 设 X 1 , , X n 是来自泊松分布 P( )的样本, 求未知参数  的 Fisher 信息量 I ( ) 和 C-R 下 界。 二、 综合题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） k ( x  y ), 0  y  x  1 其他 0, 1. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度函数如下： p ( x, y )   求： （1）常数 k 的值； （2）( X , Y ) 的边缘概率密度函数 p X ( x ) 和 pY ( y ) ，并判断 X 和Y 的独立性。 x x  e 2 , x  0  p x ( , )   2. 设总体 X 的概率密度为： 0, x0  2   0 是常数， ( X 1 ,  , X n ) 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，求： （1）  的矩估计量 ˆ ；（2）  的最大似然估计量 ˆL ； （3）讨论 ˆL 的无偏性。 科目代码：813 科目名称：概率论与数理统计 第 1 页 共 2 页 3. 设总体 X 服从正态分布 N (  , 4),  未知。现有来自该总体样本容量为 16 的样本, 其样 本均值为 14.（1）试检验 H 0 :   12.0 VS H1 :   12.0 (检验水平   0.05 ); (2)求  的 置信度为 95%的置信区间。（  (1.645)  0.95 ，  (1.96)  0.975 ，  ( x ) 是标准正态分 布的分布函数） 。 三、 应用题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分，结果保留小数点后两位） 1. 产品整箱出售，每箱 20 个。每箱有 0，1，2 个次品的概率分别为 0.7，0.2，0.1。一位 顾客欲购买一箱产品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客从中任取 4 只检查，若 无次品，则买下该箱产品，否则退货，求 （1）顾客买下该箱产品的概率； （2）已知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？ 2. 某车间有同型号的机床 200 台，在一个小时内每台机床约有 70%的时间是工作的。假定 各机床工作是相互独立的，工作时每台机床每小时要消耗电能 15KW。问每小时至少要 多少电能，才能有不低于 95%的可能性保证此车间正常生产？（  (1.645)  0.95 ，其中  ( x) 是标准正态分布的分布函数， 42  6.48 ） 3. 设甲、乙两台车床生产同一种产品。今从甲车床生产的产品中抽取 30 件，测得平均重量 为 130 克，从乙车床生产的产品中抽取 40 件，测得平均重量为 125 克，假定两台车床生 产的产品的重量都服从正态分布，方差分别为  1 =60， 2 =80 。问在显著性水平   0.05 2 2 下，两台车床生产的产品重量是否有显著的差异？（  (1.96)  0.975 ，其中  ( x ) 是标 准正态分布的分布函数） 。 四、 证明题（共 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分，共 15 分） Y , Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为 0，方差都是 1，证明 X  Y 和 1. 设 X ， 1 Y  Z 的相关系数    。 2 2. 设 X 1 , X 2，X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 N (0, 4) 样 本 ， 令 统 计 量 1 2 Y  ( X 1  X 2 ) 2  ( X 3  X 4 ) 2 ，证明 Y ~  (2) 。 8 科目代码：813 科目名称：概率论与数理统计 第 2 页 共 2 页